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Das Konzept der Unendlichkeit ist schwer vorstellbar und widerspricht oft unserem Alltagserleben. In den 1920er Jahren stellte der deutsche Mathematiker David Hilbert ein Gedankenexperiment vor, das "Hilberts Hotel" genannt wird, um die seltsamen Eigenschaften der Unendlichkeit zu zeigen.

Auf den ersten Blick scheint ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern einfach – es ist immer Platz für neue Gäste. Doch Hilberts Beispiel zeigt, dass selbst wenn alle Zimmer belegt sind, noch immer Platz für weitere Gäste ist.

Was können wir aus Hilberts Hotel über Zahlen und Unendlichkeit lernen? Wenn Unendlichkeit nie "wirklich voll" ist, kann dann überhaupt etwas "vollständig" sein? Und gibt es unendliche Größen, die größer sind als andere? Klicken Sie durch diese Galerie, um mehr über Hilberts unendliches Hotel zu erfahren.

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David Hilbert entwickelte das Paradoxon "Hilberts Hotel" als Gedankenexperiment, um unser Verständnis von Unendlichkeit herauszufordern. Durch die Vorstellung eines paradoxen Hotels mit unendlich vielen Zimmern zeigte er, wie sich die Unendlichkeit auf eine Weise verhält, die der Logik widerspricht.

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Um das Gedankenexperiment zu verstehen, bittet Hilbert darum, sich ein Hotel mit unendlich vielen Stockwerken und einem endlosen Angebot an Zimmern vorzustellen. Trotzdem gibt es dort einen fleißigen Nachtmanager, der ständig die Gäste umorganisieren muss, um Platz für Neuankömmlinge zu schaffen.

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Eines Nachts ist Hilberts unendliches Hotel mit einer unendlichen Anzahl an Gästen voll belegt. Doch als ein neuer Reisender im ausgebuchten Hotel ankommt, weist ihn der Nachtmanager nicht ab, obwohl alle Zimmer belegt sind.

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Um dem neuen Gast im ausgebuchten Hotel ein Zimmer zu geben, verlegt der Nachtmanager jeden bestehenden Gast von seinem aktuellen Zimmer in das nächste. Der Gast aus Zimmer 1 wechselt in Zimmer 2, der Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 3 und so weiter. So wird jeder Gast von seinem aktuellen Zimmer "n" in Zimmer "n+1" verlegt, wodurch Zimmer 1 für den Neuankömmling frei wird.

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Eines Abends kommt ein Reisebus mit 40 Gästen an, und der Nachtmanager wendet die gleiche Strategie in größerem Maßstab an. Jeder Gast wechselt von Zimmer "n" in Zimmer "n+40" und räumt die ersten 40 Zimmer. Mathematisch zeigt dies, dass die Unendlichkeit immer jede endliche Zahl aufnehmen kann.

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Der Nachtmanager steht eines Tages vor einem größeren Problem, als ein unendlich großer Bus mit einer unendlichen Anzahl an Passagieren ankommt. Eine einfache Umbuchung der Gäste um eine begrenzte Anzahl ist nicht mehr effektiv. Er muss eine ausgefeiltere Methode entwickeln, um sicherzustellen, dass jeder neue Gast ein Zimmer erhält.

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Um das Problem zu lösen, verlegt der Nachtmanager alle vorhandenen Gäste von Zimmer "n" in Zimmer "2n". Jeder Gast wird schließlich in einem Zimmer mit gerader Nummer untergebracht, und alle Zimmer mit ungerader Nummer bleiben für die unendliche Anzahl an Passagieren im Bus frei.

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Trotz der ständigen Ankunft neuer Gäste bleiben die Einnahmen des Infinite Hotels paradoxerweise "gleich". Da die Anzahl der Gäste immer unendlich ist, sind auch die nächtlichen Einnahmen des Hotels immer unendlich.

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Eines Nachts steht der Nachtmanager vor einer weiteren beispiellosen Herausforderung: Unendlich viele unendlich große Busse mit jeweils unendlich vielen Passagieren kommen an. Diese Situation stellt eine neue Komplexitätsstufe dar, die einen noch anspruchsvolleren mathematischen Ansatz erfordert.

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Um diesem überwältigenden Gästeansturm gerecht zu werden, greift der Nachtmanager auf Primzahlen zurück. Primzahlen sind grundsätzlich nur durch die Zahl 1 und durch sich selbst teilbar. Zu ihnen gehören Zahlen wie 5, 13, 47 und 89.

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Nachdem er über Primzahlen nachgedacht hat, erinnert sich der Nachtmanager an eine mathematische Tatsache aus dem antiken Griechenland, in der der Mathematiker Euklid bewiesen hat, dass Primzahlen unendlich sind. Daher beschließt er, diese als Methode zur Zimmerzuweisung zu verwenden und so Überschneidungen zu vermeiden.

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Die vorhandenen Gäste im Hotel werden anhand der ersten Primzahl, also der 2, neu zugewiesen. Jeder Gast aus Zimmer "n" wechselt in Zimmer "2ⁿ" (2 hoch Zimmernummer). Durch diese Verschiebung verteilen sich die vorhandenen Gäste exponentiell und schaffen enorm viel Platz.

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Den neuen Gästen, die aus dem ersten unendlichen Bus ausgestiegen sind, werden Zimmer basierend auf der zweiten Primzahl 3 zugewiesen. Ein Passagier mit Sitzplatznummer "n" wechselt in Zimmer "3ⁿ" (3 hoch seiner Sitzplatznummer). Dadurch wird sichergestellt, dass sich die Zimmer nicht mit den bereits in den Zimmern befindlichen Gästen überschneiden.

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Jeder nachfolgende Bus folgt derselben Regel und verwendet die nächste Primzahl in der Liste. Der zweite Bus verwendet die Primzahl 5, der dritte die Primzahl 7, der vierte die Primzahl 11 und so weiter. Dadurch wird sichergestellt, dass alle Gäste jedes Busses einzigartige Zimmer erhalten, ohne dass es jemals zu Konflikten kommt – unendlich.

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Die Strategie funktioniert, weil Primzahlen einzigartige Eigenschaften haben. Da jede Zimmerzuteilung auf den Exponenten dieser Primzahlen basiert, landen nie zwei Gäste im selben Zimmer, egal wie viele neue Gäste ankommen. Das lässt sich unendlich weiterführen.

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Überraschenderweise wird bei diesem System nicht jeder Raum gefüllt. Manche Zahlen, wie Raum 6, bleiben leer, weil sie keine Primzahlpotenzen sind. Dies unterstreicht eine weitere seltsame Eigenschaft der Unendlichkeit: Selbst wenn Zahlen unendlich erweitert werden, bleiben immer noch Lücken.

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Das unendliche Hotel funktioniert mit einer zählbaren Unendlichkeit. Das heißt, jedes Zimmer und jeder Gast kann eine Nummer bekommen (1, 2, 3 usw.). Diese Art von Unendlichkeit nennt man Aleph-Null (ℵ₀). Es ist die kleinste Form von Unendlichkeit und kann mit bestimmten Methoden gehandhabt werden.

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Georg Cantor, ein deutscher Mathematiker, der unser Verständnis von Unendlichkeit revolutionierte, stellte die Idee vor, dass nicht alle Unendlichkeiten gleich sind. Er zeigte, dass die zählbare Unendlichkeit (wie die Zimmer im Hotel) sich von der unzählbaren Unendlichkeit unterscheidet, wie zum Beispiel die Unendlichkeit der echten Zahlen.

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Die Methoden im unendlichen Hotel funktionieren nur, weil die Unendlichkeit des Hotels zählbar ist. Wenn das Hotel mit reellen Zahlen zu tun hätte (die auch Negative und Dezimalzahlen enthalten können), würden die gleichen Strategien nicht funktionieren, da reelle Zahlen nicht in einer Reihenfolge wie ganze Zahlen aufgelistet werden können.

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Würde das Hotel bei der Zimmerzuweisung reelle Zahlen akzeptieren, würde das Chaos noch größer werden. Es gäbe Zimmer für Brüche, irrationale Zahlen wie Pi und sogar negative Zahlen, was zu einem unglaublich komplexen Buchungssystem führen würde.

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Wenn plötzlich unendlich viele Gäste auschecken, bleibt das Hotel zwar unendlich, hat aber nun unendlich viele freie Zimmer. Der Nachtmanager könnte die verbleibenden Gäste durch eine Rückverlegung neu einteilen, doch (so seltsam es auch klingen mag) wäre die Anzahl der Zimmer immer noch unendlich.

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Das unendliche Hotel ist nicht nur ein lustiges Gedankenspiel, sondern spielt auch eine entscheidende Rolle beim Verständnis der mathematischen Eigenschaften der Unendlichkeit. Es hilft SchülerInnen, PhilosophInnen und MathematikerInnen, grundlegende Ideen über unendliche Mengen und deren eigentümliche Funktionsweise zu verstehen.

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Obwohl es sich um ein Gedankenexperiment handelt, finden die Prinzipien hinter Hilberts Hotel Anwendung in der realen Welt, beispielsweise in der Informatik, Physik und Kosmologie. Konzepte wie die unendliche Speicherzuweisung und die Natur eines expandierenden Universums stehen in direktem Zusammenhang mit der Handhabung der Unendlichkeit in Hilberts Hotel.

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Hilberts Hotel beeinflusst auch Bereiche wie die Kosmologie. Es stellt unser Verständnis der Struktur des Universums und des Konzepts der tatsächlichen Unendlichkeit in Frage und löst Diskussionen über die Natur der Realität und des Unendlichen aus.

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WissenschaftlerInnen haben bewiesen, dass das Universum vor etwa 13,8 Milliarden Jahren durch einen Urknall entstand. Mithilfe von Hilberts Hotel ziehen sie zudem die Möglichkeit in Betracht, dass das Universum (ähnlich wie unzählige Gäste, die ins Hotel kommen und gehen) in einem Billionen Jahre dauernden Zyklus immer wieder in sich zusammenfällt und sich dann ausdehnt.

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Einige PhilosophInnen und TheologInnen argumentieren, dass die Paradoxien aus Hilberts Hotel darauf schließen lassen, dass eine tatsächliche Unendlichkeit in der Realität nicht existieren kann, was impliziert, dass das Universum einen endlichen Anfang haben muss. Diese Argumentation wurde auch in theologischen Debatten über die Existenz eines Schöpfers verwendet.

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ForscherInnen haben Parallelen zwischen Hilberts Hotel und der Quantenmechanik untersucht, insbesondere bei dem Versuch, unendliche Dimensionen im Universum zu etablieren. Diese Analogie hilft beim Verständnis komplexer Quantensysteme und der mathematischen Strukturen, die sie beschreiben.

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Das Paradoxon kann auch als Beispiel für Ressourcenmanagement gesehen werden. Es zeigt, wie unendliche Ressourcen immer wieder neu verteilt werden können, um den ständig wachsenden Bedarf zu decken. Auch wenn es nur theoretisch ist, regt es Gespräche über Effizienz und Verbesserung an.

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Das unendliche Hotel erinnert daran, dass die Intuition eines jeden Menschen von begrenzten Erfahrungen geprägt ist, was wahre Unendlichkeit schwer begreifbar macht. Obwohl wir Unendlichkeit mathematisch erklären können, ist es eine intellektuelle Herausforderung, ihre wahre Natur zu begreifen. Deshalb fasziniert Hilberts Hotel auch ein Jahrhundert nach seiner Entstehung noch immer viele DenkerInnen.

Quellen: (TED-Ed) (Britannica) (ScienceABC)

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